三平方の定理

$c^2 = a^2 + b^2$

三平方の定理は三角形の底辺($a$)と高さ($b$)がわかれば、斜辺($c$)の長さがわかるという素晴らしい定理

$c^2 = a^2 + b^2$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

このように平方根を使うと、$c$(斜辺)の長さが求められる。

正確には斜辺がわかるというより、三角形の2辺の長さがわかれば、残りの1辺の長さが求められます。

$a$ について解く
$c^2 = a^2 + b^2$
$a^2 = c^2 - b^2$
$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

$b$ について解く
$c^2 = a^2 + b^2$
$b^2 = c^2 - a^2$
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

このように、$a,b,c$ のうち 2つがわかれば、残りは求められます。(以下はまとめ)

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

また、2Dベクトルは$x$, $y$成分を持っているので、三平方の定理を使うとベクトルの長さが求められます。

$\vec{v} = (x, y)$ として
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

証明

$c^2$ は 外側の大きい四角から、三角形４つを引いた面積になるはずなので以下の式が成り立てばいい。

$c^2 = (a + b)^2 - 4(\frac{ab}{2})$
$ \ \ \ = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab$
$ \ \ \ = a^2 + b^2$